graciela6

Connotaciones matemáticas de la dimensión fractal.

2007-11-06T07:00:24+00:00

Para medir una línea curva de longitud L0 se cubre ésta con N(r) segmentos de longitud r, entonces
N(r) = L0/r1 (1)
por lo tanto L es la suma de todos los segmentos r quedando como
L = ∑r1 = N(r).r1 (2)
si se sustituye (1) en el término de la derecha de (2) y se toma el límite cuando r tiende a cero da como resultado la longitud que se quiere medir
límr→0 L0r = L0 (3)
De la misma forma, para una superficie de dimensión A0 y ésta se mide con N(r) segmentos de dimensión r, entonces
N(r) = A0/r2
y definiendo A como:
A = ∑r2 = N(r).r2
si tomamos el límite
límr→0 A0r = A0
Análogamente se puede definir el volumen como:
límr→0 V0r = V0
Por lo tanto, si para medir la línea curva tomáramos segmentos de dimensionalidad mayor que 1, entonces lo encontraríamos de magnitud infinita, pues:
L = ∑r2 = N(r).r2 = límr→0 V0.r-1 = ∞
Por otra parte, si para medir el volumen se utilizaran segmentos o reglas de dimensionalidad menor que 3, entonces lo encontraríamos con resultado 0, ya que:
V = ∑r2 = N(r).r2 = límr→0 V0. r1 = 0

De acuerdo con estos enunciados se nota que solamente se podrá usar una regla de la misma dimensionalidad que el objeto estudiado para obtener el resultado correctamente esperado.
Para generalizar estas observaciones, se define un objeto de dimensión MD y que se mide con la unidad de medida r de dimensionalidad d, entonces
MD = ∑kD.rd = N(r).kd.rd
donde kd es un factor geométrico relacionado con la unidad de medida. Así para calcular MD para diferentes valores de d se arriba a las siguientes observaciones generalizadas:
MD → ∞ ↔ d > D
MD →MD ↔ d = D
MD → 0 ↔ d< D

Dimensión fractal

2007-11-06T07:00:23+00:00

El concepto de dimensión se asocia con el tipo de objeto del que se habla, y por lo tanto se observa que una línea recta tiene una dimensión, un cuadrado tiene dos dimensiones y un cubo tiene tres dimensiones. Es decir que cada objeto tiene una dimensión determinada basada en coordenadas o mejor dicho en el número de coordenadas que tal objeto ocupe en el espacio para hablar de su dimensión. Se dice que un punto en una recta tiene dimensión cero ya que no ocupa espacio, pero…¿qué pasaría con una sucesión de estos puntos? Podrían ocupar una o más coordenadas, definiendo así de que dimensión es.
En la geometría fractal, no resulta sencillo hablar de dimensiones ya que Triángulo de Sierpinski tiene una dimensión no entera y podría suponerse que existen otros objetos fractales que tengan su misma dimensión o no, por lo tanto se notará que existen tantas dimensiones como estructuras fractales existan. Por ejemplo, se puede afirmar que una estructura fractal tiene un límite o expansión o crecimiento hacia fuera, sin embargo hacia y considerando el concepto de escalamiento el fractal tiene un crecimiento infinito.
Benoit Mandelbrot, plantea, en uno de sus numerosos artículos sobre geometría fractal, una aparentemente sencilla pregunta ¿Cuánto mide la costa de Bretaña? Todo dependerá de lo que se deseche en la medición, porque al ir contando cada vez con más precisión, se deberá añadir el contorno de bahías, rocas, granos de arena, y así hasta niveles subatómicos. Esto ocurrirá indefectiblemente en toda medición y como no se tiene un instrumento de medición que permita tal medición, se podría experimentar con cualquier cosa. Conforme más rugoso sea el objeto, más rápidamente crecerá la estimación de su longitud. Las líneas, según se mencionó anteriormente tienen dimensión euclidea 1, pero salvo que sean perfectas, podrían llegar a tener dimensión fractal mayor que 1, e incluso algunas podrían llegar hasta 2. Se ha estimado la dimensión fractal de la costa de Bretaña en 1,2, resultando más fractal que una circunferencia, pero menos que otras curvas, como la definida por el propio Benoit Mandelbrot.
Uno de los procedimientos para caracterizar e incluso para clasificar los objetos fractales consiste en atribuir a cada uno de ellos una cantidad numérica, la dimensión fractal, que deberá satisfacer algunas propiedades que contribuirán a dotar de credibilidad al citado parámetro. Estos requisitos denominados Requisitos de Yamaguti fueron apuntados por este científico y otros en “Mathematics of Fractals”, se refieren a subconjuntos de Rn y han de ser considerados como una relación de “mínimos” a satisfacer por cualquier concepto de dimensión, son los siguientes:
Para conjuntos constituidos por un solo elemento {a}, la dimensión deberá ser cero. Para el intervalo unidad [0, 1], el valor deberá ser 1.
Carácter monótono: si XCY, la dimensión de X deberá ser menor o igual que la dimensión de Y.
Estabilidad numerable: sea Xj una sucesión de conjuntos cerrados de Rn.
Invariancia: para alguna clase de aplicaciones Ψ de Rn en Rn (homeomorfismos para la dimensión topológica).

Fractales

2007-11-06T06:58:20+00:00

Como se conoce, la geometría tradicional o geometría euclidiana, es la rama de la matemática que estudia elementos tales como puntos, líneas, planos, figuras y cuerpos, con sus respectivas características y propiedades. Esto ha jugado un papel fundamental en el proceso de descripción de los fenómenos naturales constituyéndose en un excelente apoyo para el desarrollo de la matemática moderna, la física y otras disciplinas, ya que la descripción de estos objetos geométricos básicos permiten modelar estructuras grandiosas como las que se ven en fantásticas construcciones donde las formas geométricas son caprichosas, como así también se desarrollan pequeñas piezas mecánicas con mayor precisión.
Sin embargo, las formas de la naturaleza rebasan la capacidad de descripción de la geometría tradicional y es aquí donde aparece la geometría fractal como una nueva disciplina de la ciencia que nos ayuda a describir formas que no son circulares, ni cónicas, ni esféricas o quizás son una combinación de diferentes formas, ya que las montañas, costas, nubes, ríos, hojas de árboles, copos de nieve y un sinnúmero de objetos no se pueden describir fácilmente mediante la geometría tradicional; por lo cual la geometría fractal provee de una descripción y un modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza que poseen a veces una remarcada invariancia bajo los cambios de escala, propiedad que caracteriza a los fractales.
El matemático francés Benoit Mandelbrot acuñó la palabra fractal en la década de los 70, derivándola del adjetivo latino fractus. El correspondiente verbo latino frangere significa romper o crear fragmentos irregulares.
Por otra parte, la geometría fractal no es solamente una idea abstracta. Un litoral, considerado desde el punto de vista de su irregularidad más pequeña, tendería hacia una longitud infinita, lo mismo que ocurre con el copo de nieve. Mandelbrot sugirió que las montañas, nubes, rocas de agregación, galaxias y otros fenómenos naturales son similares a los fractales, por lo que la aplicación de la geometría fractal a las ciencias es un campo que está creciendo rápidamente. Además, la belleza estética de los fractales los ha convertido en elemento fundamental de los gráficos por computadora.
Ahora bien, ¿Qué es un fractal?
Un fractal, en matemática, es una figura geométrica con una estructura compleja y pormenorizada a cualquier escala; son autosemejantes, es decir tienen la propiedad de que una pequeña sección de un fractal puede ser vista como una réplica a menor escala del mismo , con superficie finita, longitud o perímetro infinito y número infinito de vértices, como por ejemplo el copo de nieve que se obtiene tomando un triángulo equilátero y colocando sucesivos triángulos, cada vez más pequeños, en el tercio medio de los lados cada vez más pequeños.
El fractal es matemáticamente, una figura geométrica compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificación. Existen muchas estructuras matemáticas que son fractales: el triángulo de Sierpinski, la curva de Koch, el conjunto Mandelbrot, el conjunto de Juliá entre otros.
La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria, no tienen uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados, los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero generalmente entre ellos, por ejemplo 1,55.

A primera vista un fractal parece un diseño intrincado y de gran belleza. Pero lo que lo hace singular es su estructura infinitamente detallada y su complejidad sin límites.

Al mirar muy de cerca los objetos normales (no-fractales) apreciamos hasta el último detalle, ya que están definidos hasta una cierta escala: llega un punto en que ya está todo a la vista y no revela más. Pero imagínate un objeto infinitamente detallado; cuanto más te acercas más detalles muestra, de forma indefinida. Por eso a veces se dice que un fractal es un objeto rugoso. Sus límites son irregulares.

Esto ocurre con muchos objetos, pero en los fractales esta propiedad es independiente de la escala de observación; por muy de cerca que lo miremos siempre apreciamos el mismo nivel de "rugosidad".

Otra propieded de un fractal es que está constituido por partes que son parecidas al fractal en total o a otras partes del mismo.

Esto resulta muy acertado ya que de forma intuitiva un fractal es un objeto geométrico rugoso que puede dividirse en partes que son una copia reducida del total. Y con cada parte se puede proceder recursivamente dividiendola y siempre obtenemos formas similares a las anteriores. A esta propiedad se le llama autosimilitud y es muy importante en los fractales.
Existen numerosos fractales de gran belleza que podrás ver en
"http://www.fractals.8m.com"