Connotaciones matemáticas de la dimensión fractal.
Para medir una línea curva de longitud L0 se cubre ésta con N(r) segmentos de longitud r, entonces
N(r) = L0/r1 (1)
por lo tanto L es la suma de todos los segmentos r quedando como
L = ∑r1 = N(r).r1 (2)
si se sustituye (1) en el término de la derecha de (2) y se toma el límite cuando r tiende a cero da como resultado la longitud que se quiere medir
límr→0 L0r = L0 (3)
De la misma forma, para una superficie de dimensión A0 y ésta se mide con N(r) segmentos de dimensión r, entonces
N(r) = A0/r2
y definiendo A como:
A = ∑r2 = N(r).r2
si tomamos el límite
límr→0 A0r = A0
Análogamente se puede definir el volumen como:
límr→0 V0r = V0
Por lo tanto, si para medir la línea curva tomáramos segmentos de dimensionalidad mayor que 1, entonces lo encontraríamos de magnitud infinita, pues:
L = ∑r2 = N(r).r2 = límr→0 V0.r-1 = ∞
Por otra parte, si para medir el volumen se utilizaran segmentos o reglas de dimensionalidad menor que 3, entonces lo encontraríamos con resultado 0, ya que:
V = ∑r2 = N(r).r2 = límr→0 V0. r1 = 0
De acuerdo con estos enunciados se nota que solamente se podrá usar una regla de la misma dimensionalidad que el objeto estudiado para obtener el resultado correctamente esperado.
Para generalizar estas observaciones, se define un objeto de dimensión MD y que se mide con la unidad de medida r de dimensionalidad d, entonces
MD = ∑kD.rd = N(r).kd.rd
donde kd es un factor geométrico relacionado con la unidad de medida. Así para calcular MD para diferentes valores de d se arriba a las siguientes observaciones generalizadas:
MD → ∞ ↔ d > D
MD →MD ↔ d = D
MD → 0 ↔ d< D
