El concepto de dimensión se asocia con el tipo de objeto del que se habla, y por lo tanto se observa que una línea recta tiene una dimensión, un cuadrado tiene dos dimensiones y un cubo tiene tres dimensiones. Es decir que cada objeto tiene una dimensión determinada basada en coordenadas o mejor dicho en el número de coordenadas que tal objeto ocupe en el espacio para hablar de su dimensión. Se dice que un punto en una recta tiene dimensión cero ya que no ocupa espacio, pero…¿qué pasaría con una sucesión de estos puntos? Podrían ocupar una o más coordenadas, definiendo así de que dimensión es.
En la geometría fractal, no resulta sencillo hablar de dimensiones ya que Triángulo de Sierpinski tiene una dimensión no entera y podría suponerse que existen otros objetos fractales que tengan su misma dimensión o no, por lo tanto se notará que existen tantas dimensiones como estructuras fractales existan. Por ejemplo, se puede afirmar que una estructura fractal tiene un límite o expansión o crecimiento hacia fuera, sin embargo hacia y considerando el concepto de escalamiento el fractal tiene un crecimiento infinito.
Benoit Mandelbrot, plantea, en uno de sus numerosos artículos sobre geometría fractal, una aparentemente sencilla pregunta ¿Cuánto mide la costa de Bretaña? Todo dependerá de lo que se deseche en la medición, porque al ir contando cada vez con más precisión, se deberá añadir el contorno de bahías, rocas, granos de arena, y así hasta niveles subatómicos. Esto ocurrirá indefectiblemente en toda medición y como no se tiene un instrumento de medición que permita tal medición, se podría experimentar con cualquier cosa. Conforme más rugoso sea el objeto, más rápidamente crecerá la estimación de su longitud. Las líneas, según se mencionó anteriormente tienen dimensión euclidea 1, pero salvo que sean perfectas, podrían llegar a tener dimensión fractal mayor que 1, e incluso algunas podrían llegar hasta 2. Se ha estimado la dimensión fractal de la costa de Bretaña en 1,2, resultando más fractal que una circunferencia, pero menos que otras curvas, como la definida por el propio Benoit Mandelbrot.
Uno de los procedimientos para caracterizar e incluso para clasificar los objetos fractales consiste en atribuir a cada uno de ellos una cantidad numérica, la dimensión fractal, que deberá satisfacer algunas propiedades que contribuirán a dotar de credibilidad al citado parámetro. Estos requisitos denominados Requisitos de Yamaguti fueron apuntados por este científico y otros en “Mathematics of Fractals”, se refieren a subconjuntos de Rn y han de ser considerados como una relación de “mínimos” a satisfacer por cualquier concepto de dimensión, son los siguientes:
Para conjuntos constituidos por un solo elemento {a}, la dimensión deberá ser cero. Para el intervalo unidad [0, 1], el valor deberá ser 1.
Carácter monótono: si XCY, la dimensión de X deberá ser menor o igual que la dimensión de Y.
Estabilidad numerable: sea Xj una sucesión de conjuntos cerrados de Rn.
Invariancia: para alguna clase de aplicaciones Ψ de Rn en Rn (homeomorfismos para la dimensión topológica).